Espacios vectoriales

 

• Qué son los espacios vectoriales.

Son conjuntos no vacíos de vectores en el que sus vectores deben cumplir con los axiomas tanto para la suma como para la multiplicación por un escalar.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1. u + v ∈ V . Propiedad clausurativa para la suma. 

2. u + v = v + u. Propiedad conmutativa para la suma. 

3. (u + v) + w = u + (v + w). Propiedad asociativa para la suma. 

4. Existe un único elemento 0 ∈ V , tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . Propiedad modulativa para la suma. 

5. Para cada u ∈ V , existe un único elemento −u ∈ V , tal que u + (−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma. 

6. αu ∈ V . Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar. 

7. α(u + v) = αu + αv. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores. 

8. (α + β)u = αu + βu. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares. 

• Qué es un subespacio vectorial.

Es un subconjunto de vectores que son espacio vectorial en si mimos y que estan incluidos en otro espacio vectorial.

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

a. $0_V$ está en $W$.
b. Si $u$ y $v$ están en $W$, entonces $u+v$ está en $W$.
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio

La dimensión es la cantidad de vectores base del espacio Vectorial.

El rango son las bases linealmente independiente del espacio vectorial.