1. Qué es una transformación lineal
Una transformación lineal es una función aplicada (o regla de correspondencia) a un
espacio vectorial (Dominio) cuyo espacio vectorial resultante (Codominio) debe cumplir
unas condiciones.
2. Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal
La transformación debe cumplir la superposición y la homogeneidad de sus elementos.
La superposición se evalúa que T(v1+v2) = T(v1) + T(v2)
y la homogeneidad se evalúa que T(αv) = αT(v)
3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales
Propiedad de la adición: (F+G)(v)= F(v)+G(v), si las transformaciones son lineales la suma
también lo es.
Propiedad de la multiplicación: (αF)(v)= α[F(v)], si F es lineal entonces αF también lo es.
Propiedades de la composición: es una transformación aplicada a otra transformación.
(F°G)(v)=F(G(v)).
● Si ambas transformaciones son lineales la compuesta también lo es.
● La composición es distributiva respecto a la suma.
● Es asociativa respecto a la composición.
Inversa de una transformación lineal.
● Si la transformación es lineal su inversa también lo es.
● la inversa es única
● la inversa de la inversa es la transformación.
● La inversa de una composición es la composición de las transformaciones
invertidas.
● La inversa de una escalar por la transformación es igual a la inversa de escalar por
la inversa de la transformación.
Teorema de Cayley-Hamilton: Este teorema dice que toda matriz verifica su ecuación
característica.
4. Un ejemplo de una transformación lineal.
T: P2->P1
T(a0+a1x+a2x2) = a1+a2x
5. Cómo probar esa transformación lineal.
1. T(u+v) = T(u)+T(v)
Sea p(x)=a0+a1x+a2x2 y q(x)=b0+b1x+b2x2
T (a0+a1x+a2x2 + b0+b1x+b2x2) =
T((a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2) = (a1+b1)+(a2+b2)x = (a1+ a2x) + (b1+b2x) =
T(a0+a1x+a2x2) + T(b0+b1x+b2x2)
2. T(αv) = αT(v)
T(α(a0+a1x+a2x2)) = αT(a0+a1x+a2x2)
T(αa0+αa1x+αa2x2) = α (a1+a2x) αa1+αa2x = α (a1+a2x) α (a1+a2x) = α (a1+a2x)
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