Espacios vectoriales

 

• Qué son los espacios vectoriales.

Son conjuntos no vacíos de vectores en el que sus vectores deben cumplir con los axiomas tanto para la suma como para la multiplicación por un escalar.

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1. u + v ∈ V . Propiedad clausurativa para la suma. 

2. u + v = v + u. Propiedad conmutativa para la suma. 

3. (u + v) + w = u + (v + w). Propiedad asociativa para la suma. 

4. Existe un único elemento 0 ∈ V , tal que u + 0 = u, para todo u ∈ V . Propiedad modulativa para la suma. 

5. Para cada u ∈ V , existe un único elemento −u ∈ V , tal que u + (−u) = 0. Existencia del opuesto para la suma. 

6. αu ∈ V . Propiedad clausurativa para la multiplicación por escalar. 

7. α(u + v) = αu + αv. Propiedad distributiva respecto la suma de vectores. 

8. (α + β)u = αu + βu. Propiedad distributiva respecto la suma de escalares. 

• Qué es un subespacio vectorial.

Es un subconjunto de vectores que son espacio vectorial en si mimos y que estan incluidos en otro espacio vectorial.

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

a. $0_V$ está en $W$.
b. Si $u$ y $v$ están en $W$, entonces $u+v$ está en $W$.
c. Si $u$ está en $W$ y $k$ es un escalar, $ku$ está en $W$.

• Explique cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio

La dimensión es la cantidad de vectores base del espacio Vectorial.

El rango son las bases linealmente independiente del espacio vectorial.

Transformaciones lineales

1. Qué es una transformación lineal 

Una transformación lineal es una función aplicada (o regla de correspondencia) a un

espacio vectorial (Dominio) cuyo espacio vectorial resultante (Codominio) debe cumplir

unas condiciones. 

 

2. Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal 

La transformación debe cumplir la superposición y la homogeneidad de sus elementos. 

La superposición se evalúa que T(v1+v2) = T(v1) + T(v2) 

y la homogeneidad se evalúa que T(αv) = αT(v) 

 

3. Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales 

Propiedad de la adición: (F+G)(v)= F(v)+G(v), si las transformaciones son lineales la suma

también lo es. 

Propiedad de la multiplicación: (αF)(v)= α[F(v)], si F es lineal entonces αF también lo es. 

Propiedades de la composición: es una transformación aplicada a otra transformación.

(F°G)(v)=F(G(v)).  

● Si ambas transformaciones son lineales la compuesta también lo es.

● La composición es distributiva respecto a la suma.

● Es asociativa respecto a la composición. 

 

Inversa de una transformación lineal. 

● Si la transformación es lineal su inversa también lo es.

● la inversa es única

● la inversa de la inversa es la transformación.

● La inversa de una composición es la composición de las transformaciones 

invertidas.

● La inversa de una escalar por la transformación es igual a la inversa de escalar por 

la inversa de la transformación. 

 

Teorema de Cayley-Hamilton: Este teorema dice que toda matriz verifica su ecuación

característica. 

 

4. Un ejemplo de una transformación lineal. 

T: P2->P1 

T(a0+a1x+a2x2) = a1+a2x 

 

5. Cómo probar esa transformación lineal. 

1. T(u+v) = T(u)+T(v) 

Sea p(x)=a0+a1x+a2x2 y q(x)=b0+b1x+b2x2

 

T (a0+a1x+a2x2 + b0+b1x+b2x2) = 

T((a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2) = (a1+b1)+(a2+b2)x =   (a1+ a2x) + (b1+b2x) = 

T(a0+a1x+a2x2) + T(b0+b1x+b2x2) 

 

2. T(αv) = αT(v) 

T(α(a0+a1x+a2x2)) = αT(a0+a1x+a2x2)

 T(αa0+αa1x+αa2x2) = α (a1+a2x) αa1+αa2x = α (a1+a2x) α (a1+a2x) = α (a1+a2x) 

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

a. ¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método de Gauss es el de menor cantidad de cuentas, ya que se despeja una de las variables y con se pueden conseguir el resto de variables resolviendo ecuaciones.

b. ¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

En ecuaciones 2x2 la cantidad de cálculos entre los métodos el similar, entonces la ventaja de los determinantes es que al ser sistemático se evita realizar la evaluación de las filas y no trabajar directamente con fracciones resultando mas directo.

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

Teorema de Laplace, Regla de Cramer, Regla de Sarrus.

Solución sistema ecuaciones método de Gauss-Jordan

La diferencia entre el método Gauss y el Gauss-Jordan, es que el primero solo transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior, mientras que el segundo continua el proceso hasta lograr la matriz diagonal

La ventaja de aplicar el método de Gauss-Jordan es que las variables ya quedan prácticamente despejadas.

¿Qué conceptos identifica respecto al álgebra matricial y sus aplicaciones?

 

Procedimientos Determinante e inversa de una matriz

Aumentando con la Identidad 

Representar la matriz adjunta de la matriz (A) que se le va a calcular su inversa y la matriz identidad 
Realizar las operaciones necesarias para reducir la matriz (A) a la matriz identidad.
Cada operación que se realice a la matriz (A) replicarla en la matriz identidad adjuntada.
El matriz resultante en la adjuntada es la matriz inversa de (A)

Por determinantes

Cálculo del valor de su determinante

Cálculo de la matriz de adjuntos

Cálculo de la matriz traspuesta de la matriz de adjuntos

Aplicar la definición por adjuntos y determinantes de la matriz inversa

Si bien por determinantes puede parecer mas complejo por la aplicación de la formula, me parece mas afectiva ya que desde un principio al sacar el determinante sabemos si la matriz tiene o no inversa. Lo mismo pasa con los siguientes pasos por que el procedimiento es mas directo, solo hay que resolver los cálculos.

Matrices especiales

Identidad: tiene la diagonal principal unos y el resto de posiciones ceros.

Diagonal: tiene la diagonal principal valores mayores a ceros y el resto de posiciones ceros.

Triangular superior tiene ceros  por debajo de la diagonal

Triangular inferior tiene ceros  por encima de la diagonal

Simétrica es una matriz cuya traspuesta es igual a si misma.

Transpuesta es una matriz que equivale a otra con las filas cambiadas por columnas

Ampliada es una matriz que incluye los valores de dos matrices